Задача 57003

Темы:    [ Частные случаи треугольников (прочее) ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ] [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что если  ∠A = 45°,  то B₁C₁ – диаметр окружности девяти точек треугольника ABC.

Решение

Диаметр описанной окружности треугольника ABC равен     значит, диаметр окружности девяти точек равен    Треугольник AC₁B₁ подобен треугольнику ABC с коэффициентом  cos 45°  (см. задачу 52357), значит,     Поскольку точки B₁ и C₁ лежат на окружности девяти точек, то B₁C₁ – диаметр.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	14
Название	Задачи для самостоятельного решения
задача
Номер	05.144