ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52357
Темы:    [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ]
[ Признаки подобия ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
Сложность: 3-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

AA1 и BB1 – высоты остроугольного треугольника ABC. Докажите, что:
  а) треугольник AA1C подобен треугольнику BB1C;
  б) треугольник ABC подобен треугольнику A1B1C.
  в) Найдите коэффициент подобия треугольников A1B1C и ABC, если  ∠C = γ.


Подсказка

Постройте на стороне AB как на диаметре окружность.


Решение

  а) Прямоугольные треугольники AA1C и BB1C подобны по двум углам.
  б) Первый способ. Отрезок AB виден из точек A1 и B1 под прямым углом. Поэтому точки A1 и B1 лежат на окружности с диаметром AB. Пусть  ∠ACB < 90°.  Тогда  ∠B = ∠CB1A1.  Следовательно, треугольники ABC и A1B1C подобны по двум углам.
  Аналогично рассматривается случай  ∠C > 90°.
  Второй способ. CA1 = CA |cos γ|,  CB1 = CB |cos γ|.  Следовательно, треугольники ABC и A1B1C подобны по двум сторонам и углу между ними.


Ответ

в) |cos γ|.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 19

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .