Условие
Докажите, что если существует окружность, касающаяся
всех сторон выпуклого четырехугольника
ABCD, и окружность, касающаяся
продолжений всех его сторон, то диагонали такого четырехугольника
перпендикулярны.
Решение
Рассмотрим две окружности, касающиеся сторон данного
четырехугольника и их продолжений. Прямые, содержащие стороны
четырехугольника, являются общими внутренними и внешними
касательными к этим окружностям. Прямая, соединяющая центры
окружностей, содержит диагональ четырехугольника, и, кроме того,
она является осью симметрии четырехугольника. Значит, вторая
диагональ перпендикулярна этой прямой.
Источники и прецеденты использования
