Задача 57015

Темы:    [ Описанные четырехугольники ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Углы при основании AD трапеции ABCD равны 2 и 2. Докажите, что трапеция описанная тогда и только тогда, когда  BC/AD = tgtg.

Решение

Пусть r — расстояние от точки пересечения биссектрис углов A и D до основания AD, r' — расстояние от точки пересечения биссектрис углов B и C до основания BC. Тогда  AD = r(ctg + ctg) и  BC = r'(tg + tg). Поэтому r = r' тогда и только тогда, когда  BC/AD = (tg + tg)/(ctg + ctg) = tg ^. tg.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	1
Название	Вписанные и описанные четырехугольники
Тема	Вписанные четырехугольники
задача
Номер	06.007