Условие
Дан выпуклый четырехугольник
ABCD. Лучи
AB и
CD
пересекаются в точке
P, а лучи
BC и
AD — в точке
Q. Докажите,
что четырехугольник
ABCD описанный тогда и только тогда, когда
выполняется одно из следующих условий:
AB +
CD =
BC +
AD,
AP +
CQ =
AQ +
CP
или
BP +
BQ =
DP +
DQ.
Решение
Докажем сначала, что если четырехугольник
ABCD
описанный, то выполняются все условия. Пусть
K,
L,
M и
N —
точки касания вписанной окружности со сторонами
AB,
BC,
CD и
DA.
Тогда
AB +
CD =
AK +
BK +
CM +
DM =
AN +
BL +
CL +
DN =
BC +
AD,
AP +
CQ =
AK +
PK +
QL -
CL =
AN +
PM +
QN -
CM =
AQ +
CP
и
BP +
BQ =
AP -
AB +
BC +
CQ = (
AP +
CQ) + (
BC -
AB) =
AQ +
CP +
CD -
AD =
DP +
DQ.
Докажем теперь, например, что если
BP +
BQ =
DP +
DQ, то
четырехугольник
ABCD описанный. Рассмотрим для этого окружность,
касающуюся стороны
BC и лучей
BA и
CD. Предположим, что
прямая
AD не касается этой окружности; сдвинем эту прямую так, чтобы
она коснулась окружности (рис.). Пусть
S — такая точка
прямой
AQ, что
Q'S|
DD'. Так как
BP +
BQ =
DP +
DQ
и
BP +
BQ' =
D'P +
D'Q', то
QS +
SQ' =
QQ'. Получено противоречие. В двух
других случаях доказательство проводится аналогично.
Источники и прецеденты использования
