Задача 57021

Тема:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 6+ Классы: 8,9

Условие

Окружности S₁ и S₂, S₂ и S₃, S₃ и S₄, S₄ и S₁ касаются внешним образом. Докажите, что четыре общие касательные (в точках касания окружностей) либо пересекаются в одной точке, либо касаются одной окружности.

Решение

На окружностях и касательных можно выбрать ориентации согласованным образом (рис.). Пусть A_i — точка пересечения касательных к окружности S_i. Ориентации касательных задают ориентацию четырехугольника A₁A₂A₃A₄ (этот четырехугольник может быть невыпуклым). Из равенства длин касательных, проведенных из точки A_i к окружности S_i, следует, что

A₁A₂ + A₃A₄ = A₂A₃ + A₁A₄.1)

Воспользовавшись результатом задачи 6.9, получим, что стороны четырехугольника A₁A₂A₃A₄ (или их продолжения) касаются одной окружности, если только этот четырехугольник невырожденный.
Если три касательные пересекаются в одной точке, то из равенства (1) следует, что четырехугольник A₁A₂A₃A₄ вырождается в отрезок или в точку. В отрезок он вырождаться не может, поскольку если две касательные сливаются в одну прямую l, то они должны соответствовать противоположным сторонам четырехугольника; в этом случае все касательные пересекаются в одной точке (середине отрезка, высекаемого на прямой l точками касания).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	1
Название	Вписанные и описанные четырехугольники
Тема	Вписанные четырехугольники
задача
Номер	06.010.3