Задача 57025

Тема:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 6+ Классы: 8,9

Условие

Продолжения сторон четырехугольника ABCD, вписанного в окружность с центром O, пересекаются в точках P и Q, а его диагонали пересекаются в точке S.
а) Расстояния от точек P, Q и S до точки O равны p, q и s, а радиус описанной окружности равен R. Найдите длины сторон треугольника PQS.
б) Докажите, что высоты треугольника PQS пересекаются в точке O.

Решение

а) Пусть лучи AB и DC пересекаются в точке P, а лучи BC и AD — в точке Q. Докажем, что точка M, в которой пересекаются описанные окружности треугольников CBP и CDQ, лежит на отрезке PQ. В самом деле,  CMP + CMQ = ABC + ADC = 180^o. Поэтому PM + QM = PQ, а так как  PM ^. PQ = PD ^. PC = p² - R² и  QM ^. PQ = QD ^. QA = q² - R², то  PQ² = PM ^. PQ + QM ^. PQ = p² + q² - 2R².
Пусть N — точка пересечения описанных окружностей треугольников ACP и ABS. Докажем, что точка S лежит на отрезке PN. В самом деле,  ANP = ACP = 180^o - ACD = 180^o - ABD = ANS. Поэтому PN - SN = PS, а так как  PN ^. PS = PA ^. PB = p² - R² и  SN ^. PS = SA ^. SC = R² - s², то  PS² = PN ^. PS - SN ^. PS = p² + s² - 2R². Аналогично  QS² = q² + s² - 2R².
б) Согласно задаче а)  PQ² - PS² = q² - s² = OQ² - OS². Следовательно,  OP QS (см. задачу 7.6). Аналогично доказывается, что  OQ PS и  OS PQ.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	1
Название	Вписанные и описанные четырехугольники
Тема	Вписанные четырехугольники
задача
Номер	06.014