Задача 57026

Тема:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Условие

Диагональ AC разбивает четырехугольник ABCD на два треугольника, вписанные окружности которых касаются диагонали AC в одной точке. Докажите, что вписанные окружности треугольников ABD и BCD тоже касаются диагонали BD в одной точке, а точки их касания со сторонами четырехугольника лежат на одной окружности.

Решение

Пусть вписанные окружности треугольников ABC и ACD касаются диагонали AC в точках M и N соответственно. Тогда  AM = (AC + AB - BC)/2 и  AN = (AC + AD - CD)/2 (см. задачу 3.2). Точки M и N совпадают тогда и только тогда, когда AM = AN, т. е.  AB + CD = BC + AD. Итак, если точки M и N совпадают, то четырехугольник ABCD описанный, и аналогичные рассуждения показывают, что точки касания вписанных окружностей треугольников ABD и BCD с диагональю BD совпадают.
Пусть вписанная окружность треугольника ABC касается сторон AB, BC и CA в точках P, Q и M, а вписанная окружность треугольника ACD касается сторон AC, CD и DA в точках M, R и S. Так как AP = AM = AS и CQ = CM = CR, то треугольники  APS, BPQ, CQR и DRS равнобедренные; пусть  ,, и  — углы при основаниях этих равнобедренных треугольников. Сумма углов этих треугольников равна  2( + + + ) + A + B + C + D, поэтому  + + + = 180^o. Следовательно,  SPQ + SRQ = 360^o - ( + + + ) = 180^o, т. е. четырехугольник PQRS вписанный.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	1
Название	Вписанные и описанные четырехугольники
Тема	Вписанные четырехугольники
задача
Номер	06.015