Задача 57030

Тема:    [ Четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 9

Условие

В четырехугольнике ABCD стороны AB и CD равны, причем лучи AB и DC пересекаются в точке O. Докажите, что прямая, соединяющая середины диагоналей, перпендикулярна биссектрисе угла AOD.

Решение

Пусть  AOD = 2. Тогда расстояния от точки O до проекций середин диагоналей AC и BD на биссектрису угла AOD равны  cos(OA + OC)/2 и  cos(OB + OD)/2 соответственно. Так как  OA + OC = AB + OB + OC = CD + OB + OC = OB + OD, эти проекции совпадают.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	2
Название	Четырехугольники
Тема	Четырехугольники (прочее)
задача
Номер	06.019