ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57034
Тема:    [ Четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Середины M и N диагоналей AC и BD выпуклого четырехугольника ABCD не совпадают. Прямая MN пересекает стороны AB и CD в точках M1 и N1. Докажите, что если MM1 = NN1, то AD| BC.

Решение

Предположим, что прямые AD и BC не параллельны. Пусть M2, K, N2 — середины сторон AB, BC, CD соответственно. Если MN| BC, то BC| AD, так как AM = MC и BN = ND. Поэтому будем считать, что прямые MN и BC не параллельны, т. е.  M1$ \ne$M2 и  N1$ \ne$N2. Ясно, что  $ \overrightarrow{M_2M}$ = $ \overrightarrow{BC}$/2 = $ \overrightarrow{NN_2}$ и  $ \overrightarrow{M_1M}$ = $ \overrightarrow{NN_1}$. Поэтому  M1M2| N1N2. Следовательно,  KM| AB| CD| KN, т. е. M = N. Получено противоречие.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 6
Название Многоугольники
Тема Многоугольники
параграф
Номер 2
Название Четырехугольники
Тема Четырехугольники (прочее)
задача
Номер 06.023

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .