Задача 57034

Тема:    [ Четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9

Условие

Середины M и N диагоналей AC и BD выпуклого четырехугольника ABCD не совпадают. Прямая MN пересекает стороны AB и CD в точках M₁ и N₁. Докажите, что если MM₁ = NN₁, то AD| BC.

Решение

Предположим, что прямые AD и BC не параллельны. Пусть M₂, K, N₂ — середины сторон AB, BC, CD соответственно. Если MN| BC, то BC| AD, так как AM = MC и BN = ND. Поэтому будем считать, что прямые MN и BC не параллельны, т. е.  M₁M₂ и  N₁N₂. Ясно, что  = /2 = и  = . Поэтому  M₁M₂| N₁N₂. Следовательно,  KM| AB| CD| KN, т. е. M = N. Получено противоречие.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	2
Название	Четырехугольники
Тема	Четырехугольники (прочее)
задача
Номер	06.023