Задача 57035

Темы:    [ Подобные фигуры ] [ Четырехугольники (прочее) ] [ Преобразования подобия (прочее) ] [ Против большей стороны лежит больший угол ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Условие

Докажите, что два четырехугольника подобны тогда и только тогда, когда у них равны четыре соответственных угла и соответственные углы между диагоналями.

Решение

Преобразованием подобия можно совместить одну пару соответственных сторон четырехугольников, поэтому достаточно рассмотреть четырехугольники ABCD и ABC₁D₁, у которых точки C₁ и D₁ лежат на лучах BC, AD и  CD| C₁D₁. Обозначим точки пересечения диагоналей четырехугольников ABCD и ABC₁D₁ через O и O₁ соответственно.
Предположим, что точки C и D лежат ближе к точкам B и A, чем точки C₁ и D₁. Докажем, что тогда  AOB > AO₁B. В самом деле,  C₁AB > CAB и  D₁BA > DBA, поэтому  AO₁B = 180^o - C₁AB - D₁BA < 180^o - CAB - DBA = AOB. Получено противоречие, поэтому  C₁ = C, D₁ = D.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	2
Название	Четырехугольники
Тема	Четырехугольники (прочее)
задача
Номер	06.024