Информация о задаче

Задача 57037

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Подобные фигуры	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Из вершин выпуклого четырехугольника опущены перпендикуляры на диагонали. Докажите, что четырехугольник, образованный основаниями перпендикуляров, подобен исходному четырехугольнику.

Решение

Пусть O — точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD. Без ограничения общности можно считать, что $\alpha$ = $\angle$ AOB < 90^o. Опустим перпендикуляры AA₁, BB₁, CC₁, DD₁ на диагонали четырехугольника ABCD. Так как OA₁ = OA cos $\alpha$ , OB₁ = OB cos $\alpha$ , OC₁ = OC cos $\alpha$ , OD₁ = OD cos $\alpha$ , то при симметрии относительно биссектрисы угла AOB четырехугольник ABCD переходит в четырехугольник, гомотетичный четырехугольнику A₁B₁C₁D₁ (с коэффициентом 1/cos $\alpha$ ).

Замечания

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	2
Название	Четырехугольники
Тема	Четырехугольники (прочее)
задача
Номер	06.026