Задача 57037

Темы:    [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Подобные фигуры ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 5+ Классы: 8,9,10

Условие

Из вершин выпуклого четырехугольника опущены перпендикуляры на диагонали. Докажите, что четырехугольник, образованный основаниями перпендикуляров, подобен исходному четырехугольнику.

Решение

Пусть O — точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD. Без ограничения общности можно считать, что  = AOB < 90^o. Опустим перпендикуляры  AA₁, BB₁, CC₁, DD₁ на диагонали четырехугольника ABCD. Так как  OA₁ = OA cos, OB₁ = OB cos, OC₁ = OC cos, OD₁ = OD cos, то при симметрии относительно биссектрисы угла AOB четырехугольник ABCD переходит в четырехугольник, гомотетичный четырехугольнику  A₁B₁C₁D₁ (с коэффициентом  1/cos).

Замечания

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	2
Название	Четырехугольники
Тема	Четырехугольники (прочее)
задача
Номер	06.026