ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57037
Темы:    [ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Подобные фигуры ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Из вершин выпуклого четырехугольника опущены перпендикуляры на диагонали. Докажите, что четырехугольник, образованный основаниями перпендикуляров, подобен исходному четырехугольнику.

Решение

Пусть O — точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD. Без ограничения общности можно считать, что  $ \alpha$ = $ \angle$AOB < 90o. Опустим перпендикуляры  AA1, BB1, CC1, DD1 на диагонали четырехугольника ABCD. Так как  OA1 = OA cos$ \alpha$, OB1 = OB cos$ \alpha$, OC1 = OC cos$ \alpha$, OD1 = OD cos$ \alpha$, то при симметрии относительно биссектрисы угла AOB четырехугольник ABCD переходит в четырехугольник, гомотетичный четырехугольнику  A1B1C1D1 (с коэффициентом  1/cos$ \alpha$).

Замечания

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 6
Название Многоугольники
Тема Многоугольники
параграф
Номер 2
Название Четырехугольники
Тема Четырехугольники (прочее)
задача
Номер 06.026

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .