Задача 57040

Тема:    [ Четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

Окружность радиуса r₁ касается сторон DA, AB и BC выпуклого четырехугольника ABCD, окружность радиуса r₂ — сторон AB, BC и CD; аналогично определяются r₃ и r₄. Докажите, что  + = + .

Решение

Легко проверить, что  AB = r₁(ctg(A/2) + ctg(B/2)) и  CD = r₃(ctg(C/2) + ctg(D/2)). Поэтому AB/r₁ + CD/r₃ = ctg(A/2) + ctg(B/2) + ctg(C/2) + ctg(D/2) = BC/r₂ + AD/r₄.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	2
Название	Четырехугольники
Тема	Четырехугольники (прочее)
задача
Номер	06.029