Условие
Окружности, диаметрами которых служат стороны
AB
и
CD выпуклого четырехугольника
ABCD, касаются сторон
CD и
AB
соответственно. Докажите, что
BC|
AD.
Решение
Пусть
M и
N — середины сторон
AB и
CD.
Опустим из точки
D перпендикуляр
DP на прямую
MN, а из точки
M
перпендикуляр
MQ на
CD. Тогда
Q — точка касания прямой
CD и
окружности с диаметром
AB. Прямоугольные треугольники
PDN и
QMN
подобны, поэтому
DP =
ND . MQ/
MN =
ND . MA/
MN. Аналогично
расстояние от точки
A до прямой
MN равно
ND . MA/
MN.
Следовательно,
AD|
MN. Аналогично
BC|
MN.
Источники и прецеденты использования
