Задача 57044

Тема:    [ Четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 6+ Классы: 9

Условие

Четыре прямые задают четыре треугольника. Докажите, что ортоцентры этих треугольников лежат на одной прямой.

Решение

Достаточно проверить, что ортоцентры любых трех из данных четырех треугольников лежат на одной прямой. Пусть некоторая прямая пересекает прямые  B₁C₁, C₁A₁ и A₁B₁ в точках A, B и C соответственно; A₂, B₂ и C₂ — ортоцентры треугольников  A₁BC, AB₁C и ABC₁. Прямые AB₂ и A₂B перпендикулярны прямой A₁B₁, поэтому они параллельны. Аналогично  BC₂| B₂C и  CA₂| C₂A. Точки A, B и C лежат на одной прямой, поэтому точки A₂, B₂ и C₂ тоже лежат на одной прямой (см. задачу 1.12, б)).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	2
Название	Четырехугольники
Тема	Четырехугольники (прочее)
задача
Номер	06.033