Информация о задаче

Задача 57047

Темы:	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]
	[	Теорема Птолемея	]
	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]
	[	Теорема синусов	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Пусть $\alpha$ = $\pi$ /7. Докажите, что ${\frac{1}{\sin\alpha }}$ = ${\frac{1}{\sin 2\alpha }}$ + ${\frac{1}{\sin 3\alpha }}$ .

Решение

Пусть правильный семиугольник A₁...A₇ вписан в окружность. Применяя теорему Птолемея к четырехугольнику A₁A₃A₄A₅, получаем A₁A₃^.A₅A₄ + A₃A₄^.A₁A₅ = A₁A₄^.A₃A₅, т. е. sin 2 $\alpha$ sin $\alpha$ + sin $\alpha$ sin 3 $\alpha$ = sin 3 $\alpha$ sin 2 $\alpha$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	3
Название	Теорема Птолемея
Тема	Теорема Птолемея
задача
Номер	06.036