ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57047
Темы:    [ Геометрические интерпретации в алгебре ]
[ Теорема Птолемея ]
[ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
[ Теорема синусов ]
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть  $ \alpha$ = $ \pi$/7. Докажите, что  $ {\frac{1}{\sin\alpha }}$ = $ {\frac{1}{\sin 2\alpha }}$ + $ {\frac{1}{\sin
3\alpha }}$.

Решение

Пусть правильный семиугольник  A1...A7 вписан в окружность. Применяя теорему Птолемея к четырехугольнику  A1A3A4A5, получаем  A1A3 . A5A4 + A3A4 . A1A5 = A1A4 . A3A5, т. е.  sin 2$ \alpha$sin$ \alpha$ + sin$ \alpha$sin 3$ \alpha$ = sin 3$ \alpha$sin 2$ \alpha$.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 6
Название Многоугольники
Тема Многоугольники
параграф
Номер 3
Название Теорема Птолемея
Тема Теорема Птолемея
задача
Номер 06.036

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .