Задача 57053

Тема:    [ Теорема Птолемея ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

На дуге  A₁A_{2n + 1} описанной окружности S правильного (2n + 1)-угольника  A₁...A_{2n + 1} взята точка A. Докажите, что:
а)  d₁ + d₃ + ... + d_{2n + 1} = d₂ + d₄ + ... + d_2n, где d_i = AA_i;
б)  l₁ + ... + l_{2n + 1} = l₂ + ... + l_2n, где l_i — длина касательной, проведенной из точки A к окружности радиуса r, касающейся S в точке A_i (все касания одновременно внутренние или внешние).

Решение

а) Запишем теорему Птолемея для всех четырехугольников с вершинами в точке A и трех последовательных вершинах данного многоугольника; затем сгруппируем в полученных равенствах сомножители, в которые входят d_i с четными номерами, в правую часть. Сложив эти равенства, получим (2a+b)(d₁+...+d_{2n + 1}) = (2a+b)(d₂+...+d_2n), где a — сторона данного многоугольника, b — его наименьшая диагональ.
б) Пусть R — радиус окружности S. Тогда  l_i = d_i (см. задачу 3.20). Остается воспользоваться результатом задачи а).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	3
Название	Теорема Птолемея
Тема	Теорема Птолемея
задача
Номер	06.041