Задача 57055

Тема:    [ Теорема Птолемея ]

Сложность: 6 Классы: 9,10 Название задачи: Обобщенная теорема Птолемея.

Условие

Окружности  ,, и  касаются данной окружности в вершинах A, B, C и D выпуклого четырехугольника ABCD. Пусть  t — длина общей касательной к окружностям  и  (внешней, если оба касания внутренние или внешние одновременно, и внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее);  t, t и т. д. определяются аналогично. Докажите, что  tt + tt = tt (обобщенная теорема Птолемея).

Решение

Пусть R — радиус описанной окружности четырехугольника ABCD; r_a, r_b, r_c и r_d — радиусы окружностей  ,, и . Пусть далее  a = , причем знак плюс берется в случае внешнего касания, а знак минус — в случае внутреннего; числа b, c и d определяются аналогично. Тогда  t = abAB/R (см. задачу 6.42) и т. д. Поэтому, домножая равенство  AB ^. CD + BC ^. DA = AC ^. BD на abcd /R, получаем требуемое.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	3
Название	Теорема Птолемея
Тема	Теорема Птолемея
задача
Номер	06.043