Условие
Окружности
![$ \alpha$](show_document.php?id=594361)
,
![$ \beta$](show_document.php?id=594362)
,
![$ \gamma$](show_document.php?id=594363)
и
![$ \delta$](show_document.php?id=594364)
касаются данной
окружности в вершинах
A,
B,
C и
D выпуклого четырехугольника
ABCD.
Пусть
t![$\scriptstyle \alpha$](show_document.php?id=594366)
![$\scriptstyle \beta$](show_document.php?id=594367)
— длина общей касательной к окружностям
![$ \alpha$](show_document.php?id=594361)
и
![$ \beta$](show_document.php?id=594362)
(внешней, если оба касания внутренние или внешние одновременно,
и внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее);
t![$\scriptstyle \beta$](show_document.php?id=594367)
![$\scriptstyle \gamma$](show_document.php?id=594358)
,
t![$\scriptstyle \gamma$](show_document.php?id=594358)
![$\scriptstyle \delta$](show_document.php?id=594360)
и т. д. определяются аналогично. Докажите,
что
t![$\scriptstyle \alpha$](show_document.php?id=594366)
t![$\scriptstyle \gamma$](show_document.php?id=594358)
![$\scriptstyle \delta$](show_document.php?id=594360)
+
t![$\scriptstyle \beta$](show_document.php?id=594367)
t![$\scriptstyle \delta$](show_document.php?id=594360)
![$\scriptstyle \alpha$](show_document.php?id=594366)
=
t![$\scriptstyle \alpha$](show_document.php?id=594366)
t![$\scriptstyle \beta$](show_document.php?id=594367)
![$\scriptstyle \delta$](show_document.php?id=594360)
(обобщенная теорема Птолемея).
Решение
Пусть
R — радиус описанной окружности
четырехугольника
ABCD;
ra,
rb,
rc и
rd — радиусы
окружностей
![$ \alpha$](show_document.php?id=594361)
,
![$ \beta$](show_document.php?id=594362)
,
![$ \gamma$](show_document.php?id=594363)
и
![$ \delta$](show_document.php?id=594364)
. Пусть далее
a =
![$ \sqrt{R\pm r_a}$](show_document.php?id=594365)
,
причем знак плюс берется в случае внешнего касания, а знак минус — в
случае внутреннего; числа
b,
c и
d определяются аналогично.
Тогда
t![$\scriptstyle \alpha$](show_document.php?id=594366)
![$\scriptstyle \beta$](show_document.php?id=594367)
=
abAB/
R (см. задачу
6.42) и т. д.
Поэтому, домножая равенство
AB . CD +
BC . DA =
AC . BD
на
abcd /
R, получаем требуемое.
Источники и прецеденты использования
|
книга |
Автор |
Прасолов В.В. |
Год издания |
2001 |
Название |
Задачи по планиметрии |
Издательство |
МЦНМО |
Издание |
4* |
глава |
Номер |
6 |
Название |
Многоугольники |
Тема |
Многоугольники |
параграф |
Номер |
3 |
Название |
Теорема Птолемея |
Тема |
Теорема Птолемея |
задача |
Номер |
06.043 |