ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57057
Тема:    [ Пятиугольники ]
Сложность: 5
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) Диагонали AC и BE правильного пятиугольника ABCDE пересекаются в точке K. Докажите, что описанная окружность треугольника CKE касается прямой BC.
б) Пусть a — длина стороны правильного пятиугольника, d — длина его диагонали. Докажите, что  d2 = a2 + ad.

Решение

а) Пусть O — центр описанной окружности треугольника CKE. Достаточно проверить, что  $ \angle$COK = 2$ \angle$KCB. Оба эти угла легко вычисляются:  $ \angle$COK = 180o - 2$ \angle$OKC = 180o - $ \angle$EKC = 180o - $ \angle$EDC = 72o и  $ \angle$KCB = (180o - $ \angle$ABC)/2 = 36o.
б) Так как BC — касательная к описанной окружности треугольника CKE, то  BE . BK = BC2, т. е.  d (d - a) = a2.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 6
Название Многоугольники
Тема Многоугольники
параграф
Номер 4
Название Пятиугольники
Тема Пятиугольники
задача
Номер 06.045

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .