Задача 57057

Тема:    [ Пятиугольники ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

а) Диагонали AC и BE правильного пятиугольника ABCDE пересекаются в точке K. Докажите, что описанная окружность треугольника CKE касается прямой BC.
б) Пусть a — длина стороны правильного пятиугольника, d — длина его диагонали. Докажите, что  d² = a² + ad.

Решение

а) Пусть O — центр описанной окружности треугольника CKE. Достаточно проверить, что  COK = 2KCB. Оба эти угла легко вычисляются:  COK = 180^o - 2OKC = 180^o - EKC = 180^o - EDC = 72^o и  KCB = (180^o - ABC)/2 = 36^o.
б) Так как BC — касательная к описанной окружности треугольника CKE, то  BE ^. BK = BC², т. е.  d (d - a) = a².

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	4
Название	Пятиугольники
Тема	Пятиугольники
задача
Номер	06.045