Задача 57059

Темы:    [ Пятиугольники ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Диаметр, основные свойства ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10

Условие

Правильный пятиугольник ABCDE со стороной a вписан в окружность S. Прямые, проходящие через его вершины перпендикулярно сторонам, образуют правильный пятиугольник со стороной b (см. рис.). Сторона правильного пятиугольника, описанного около окружности S, равна c. Докажите, что  a² + b² = c².

Решение

Пусть точки  A₁,..., E₁ симметричны точкам A,..., E относительно центра окружности S;P, Q и R — точки пересечения прямых BC₁ и AB₁, AE₁ и BA₁, BA₁ и CB₁ (рис.). Тогда PQ = AB = a и QR = b. Так как PQ||AB и  ABA₁ = 90^o, то  PR² = PQ² + QR² = a² + b². Прямая PR проходит через центр окружности S и  AB₁C = 4 ^. 18^o = 72^o, поэтому PR — сторона правильного пятиугольника, описанного около окружности с центром B₁, радиус B₁O которой равен радиусу окружности S.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	4
Название	Пятиугольники
Тема	Пятиугольники
задача
Номер	06.047