а) Противоположные стороны выпуклого шестиугольника ABCDEF попарно параллельны. Докажите, что этот шестиугольник вписанный тогда и только тогда, когда его диагонали AD, BE и CF равны.
б) Докажите аналогичное утверждение для невыпуклого (возможно, самопересекающегося) шестиугольника.

   Решение

Темы:    [ Шестиугольники ] [ Вписанные и описанные многоугольники ] [ Композиции симметрий ]

Сложность: 7 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

а) Противоположные стороны выпуклого шестиугольника ABCDEF попарно параллельны. Докажите, что этот шестиугольник вписанный тогда и только тогда, когда его диагонали AD, BE и CF равны.
б) Докажите аналогичное утверждение для невыпуклого (возможно, самопересекающегося) шестиугольника.

Решение

а) Вписанная трапеция является равнобочной, поэтому если данный шестиугольник вписанный, то его диагонали равны. Предположим теперь, что диагонали данного шестиугольника ABCDEF равны. Тогда, например, ABDE — равнобочная трапеция, причем прямая, соединяющая середины ее оснований AB и ED, является биссектрисой угла между прямыми AD и BE. Поэтому прямые, соединяющие середины противоположных сторон шестиугольника ABCDEF, пересекаются в одной точке O — точке пересечения биссектрис треугольника, образованного диагоналями AD, BE и CF (если диагонали пересекаются в одной точке, то в качестве O берется именно эта точка).
б) В случае невыпуклого шестиугольника ABCDEF единственное существенное отличие заключается в том, что теперь прямая, соединяющая середины сторон AB и ED, может быть не только биссектрисой внутреннего угла, образованного диагоналями AD, BE и CF, но и биссектрисой внешнего угла. А три биссектрисы треугольника, среди которых есть как внутренние, так и внешние, не всегда пересекаются в одной точке (внешних биссектрис должно быть чётное число). Поэтому дополнительно нужно доказать, что в рассматриваемой ситуации три биссектрисы всегда пересекаются в одной точке. Для этого мы воспользуемся тем, что рассматриваемые биссектрисы l₁, l₂, l₃ можно занумеровать так, что композиция симметрий (S_l1oS_l2oS_l3)² оставляет точку A на месте: ABCDEFA. Действительно, согласно задаче 17.37 преобразование S_l1oS_l2oS_l3 является скользящей симметрией, а согласно задаче 17.22B это преобразование является симметрией тогда и только тогда, когда прямые l₁, l₂ и l₃ пересекаются в одной точке.

Источники и прецеденты использования