Условие
Даны три прямые a, b, c. Докажите, что композиция симметрий
ScoSboSa является симметрией относительно некоторой прямой тогда
и только тогда, когда данные прямые пересекаются в одной точке.
Решение
Предположим сначала, что
ScoSboSa = Sl для некоторой прямой l.
Тогда
SboSa = ScoScoSboSa = ScoSl. Неподвижной
точкой преобразования
SboSa является точка пересечения прямых a и
b. Она должна быть также неподвижной точкой преобразования
ScoSl,
поэтому прямая c должна проходить через точку пересечения прямых a и b.
Предположим теперь, что данные прямые пересекаются в точке O. Композиция
SboSa представляет собой поворот с центром O, поэтому
SboSa = Sb'oSa' для любой пары прямых a' и b', полученных
из a и b поворотом с центром O на один и тот же угол. Можно добиться,
чтобы при этом повороте прямая b' совпала с прямой c. Тогда
ScoSboSa = ScoSb'oSa' = ScoScoSa' = Sa'.
Источники и прецеденты использования
