ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57067
Темы:    [ Правильные многоугольники ]
[ Признаки подобия ]
[ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]
Сложность: 3+
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Все углы выпуклого многоугольника A1...An равны, и из некоторой его внутренней точки O все стороны видны под равными углами.
Докажите, что этот многоугольник правильный.


Решение

  Углы многоугольника A1...An равны  180° – 360°/n,  а углы вида AkOAk+1 равны 360°/n. Поэтому  ∠OA1A2 + ∠A1A2O = ∠A1A2O + ∠OA2A3,  то есть
OA1A2 = ∠OA2A3.  Значит, треугольники OA1A2 и OA2A3 подобны, следовательно,  OA1 : OA2 = OA2 : OA3.
  Аналогично  OA2 : OA3 = OA3 : OA4 = ... = OAn : OA1.  Перемножив все эти равные отношения, получим, что  OA1 : OA2 = 1,  то есть все треугольники вида AkOAk+1 (а значит, и все стороны AkAk+1) равны.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 6
Название Многоугольники
Тема Многоугольники
параграф
Номер 6
Название Правильные многоугольники
Тема Правильные многоугольники
задача
Номер 06.054

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .