Задача 57073

Темы:    [ Правильные многоугольники ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]

Сложность: 6 Классы: 9

Условие

Докажите, что в правильном тридцатиугольнике A₁...A₃₀ следующие тройки диагоналей:
  а) A₁A₇, A₂A₉, A₄A₂₃;
  б) A₁A₇, A₂A₁₅, A₄A₂₉;
  в) A₁A₁₃, A₂A₁₅, A₁₀A₂₉
пересекаются в одной точке.

Решение

  Во всех случаях проверка условия теоремы Чевы (см. зад. 35216) для соответствующего шестиугольника  (A₁A₂A₄A₇A₉A₂₃,  A₁A₂A₄A₇A₁₅A₂₉,  A₁A₂A₁₀A₁₃A₁₅A₂₉)  сводится к проверке равенства  sin 6° sin 18° sin 84° = sin 12° sin 12° sin 48°.
  2 sin 6° sin 84° = 2 sin 6° cos 6° = sin 12°,  sin 18° = cos 72°,  2 sin 12° sin 48° = cos 36° – cos 60°,  поэтому все сводится к известному (см. зад. 61163) равенству  cos 36° – cos 72° = ½.

Замечания

В книге Прасолова задача дана в несколько другой формулировке.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	6
Название	Правильные многоугольники
Тема	Правильные многоугольники
задача
Номер	06.060