ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57073
Темы:    [ Правильные многоугольники ]
[ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]
Сложность: 6
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что в правильном тридцатиугольнике A1...A30 следующие тройки диагоналей:
  а) A1A7, A2A9, A4A23;
  б) A1A7, A2A15, A4A29;
  в) A1A13, A2A15, A10A29
пересекаются в одной точке.


Решение

  Во всех случаях проверка условия теоремы Чевы (см. зад. 35216) для соответствующего шестиугольника  (A1A2A4A7A9A23A1A2A4A7A15A29A1A2A10A13A15A29)  сводится к проверке равенства  sin 6° sin 18° sin 84° = sin 12° sin 12° sin 48°.
  2 sin 6° sin 84° = 2 sin 6° cos 6° = sin 12°,  sin 18° = cos 72°,  2 sin 12° sin 48° = cos 36° – cos 60°,  поэтому все сводится к известному (см. зад. 61163) равенству  cos 36° – cos 72° = ½.

Замечания

В книге Прасолова задача дана в несколько другой формулировке.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 6
Название Многоугольники
Тема Многоугольники
параграф
Номер 6
Название Правильные многоугольники
Тема Правильные многоугольники
задача
Номер 06.060

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .