Задача 57083

Темы:    [ Правильные многоугольники ] [ Скалярное произведение. Соотношения ]

Сложность: 4- Классы: 9

Условие

Правильный n-угольник A₁...A_n вписан в окружность радиуса R с центром O,   e_i = ,  x =   – произвольный вектор.
Докажите, что   Σ (e_i, x)² = ½ nR²·OX².

Решение

Пусть B_i – проекция точки X на прямую OA_i. Тогда  (e_i, x) = (, + ) = (, ) = ±R·OB_i.  Точки  B₁, ..., B_n  лежат на окружности с диаметром OX и являются вершинами правильного n-угольника при n нечётном и вершинами ⁿ/₂-угольника, взятыми по два раза, при n чётном (см. задачу 56549). Поэтому  Σ OB_i² = ⁿ/₂ OX²  (см. задачу 57080).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	6
Название	Правильные многоугольники
Тема	Правильные многоугольники
задача
Номер	06.070