Даны две концентрические окружности. Хорда большей из них касается меньшей и имеет длину 2.
Найдите площадь кольца, заключенного между окружностями.

   Решение

Тема:    [ Вписанные и описанные многоугольники ]

Сложность: 5 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

В 2n-угольнике (n нечетно)  A₁...A_2n, описанном около окружности с центром O, диагонали A₁A_{n + 1}, A₂A_{n + 2},..., A_{n - 1}A_{2n - 1} проходят через точку O. Докажите, что и диагональ A_nA_2n проходит через точку O.

Решение

Пусть OH_i — высота треугольника  OA_iA_{i + 1}. Тогда  H_{i - 1}OA_i = H_iOA_i = . Из условия задачи следует, что  + = + , + = + , + = + ,..., + = + (при записи последнего равенства мы учли, что n нечетно) и  + 2 + = + 2 + . Складывая все эти равенства, получаем  + = + , что и требовалось.

Источники и прецеденты использования