|
Название задачи: Теорема Паскаля. |
 |
Условие
Докажите, что точки пересечения противоположных сторон
(если эти стороны не параллельны) вписанного шестиугольника лежат на
одной прямой (Паскаль).
Решение
Пусть прямые AB и DE пересекаются в точке G, BC и EF в точке H,
CD и FA в точке K. Пусть, далее, X и Y — точки пересечения
описанной окружности треугольника EBH с прямыми AB и DE. Покажем, что
соответственные стороны треугольников ADK и XYH параллельны. (Из этого
следует, что прямая KH проходит через точку G.)
Из равенств
(YX, AB) =
(YX, XB) =
(YE, EB) =
(DE, EB) =
(DA, AB)
следует, что AD| XY. После этого из равенств
(XY, YH) =
(XB, BH) =
(AB, BC) =
(AD, DC) =
(AD, DK)
следует, что DK| YH, а из равенств
(YH, XH) =
(YE, EH) =
(DE, EF) =
(DA, AF) =
(DA, AK)
следует, что AK| XH.
Отметим, что мы нигде не пользовались тем, что шестиугольник ABCDEF выпуклый;
вместо шестиугольника можно взять самопересекающуюся шестизвенную ломаную с
вершинами на окружности.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Прасолов В.В. |
| Год издания | 2001 |
| Название | Задачи по планиметрии |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 4* |
| глава | |
| Номер | 6 |
| Название | Многоугольники |
| Тема | Многоугольники |
| параграф | |
| Номер | 9 |
| Название | Теорема Паскаля |
| Тема | Теорема Паскаля |
| задача | |
| Номер | 06.092 |
