Задача 57113

Тема:    [ Теорема Паскаля ]

Сложность: 6+ Классы: 9

Условие

Даны пять точек некоторой окружности. С помощью одной линейки постройте шестую точку этой окружности.

Решение

Пусть данные точки A, B, C, D, E лежат на одной окружности. Предположим, что мы построили точку F той же окружности. Обозначим через K, L, M точки пересечения прямых AB и DE, BC и EF, CD и FA соответственно. Тогда по теореме Паскаля точки K, L, M лежат на одной прямой.
Из этого вытекает следующее построение. Проведем через точку E произвольную прямую a и обозначим точку ее пересечения с прямой BC через L. Затем построим точку K пересечения прямых AB и DE и точку M пересечения прямых KL и CD. Наконец, F — точка пересечения прямых AM и a. Докажем, что F лежит на нашей окружности. Пусть F₁ — точка пересечения окружности и прямой a. Из теоремы Паскаля следует, что F₁ лежит на прямой AM, т. е. F₁ является точкой пересечения a и AM. Поэтому F₁ = F.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	9
Название	Теорема Паскаля
Тема	Теорема Паскаля
задача
Номер	06.097