Задача 57137

Тема:    [ ГМТ - прямая или отрезок ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Внутри окружности взята точка A. Найдите геометрическое место точек пересечения касательных к окружности, проведенных через концы всевозможных хорд, содержащих точку A.

Решение

Пусть O — центр окружности, R — ее радиус, M — точка пересечения касательных, проведенных через концы хорды, содержащей точку A, P — середина этой хорды. Тогда  OP ^. OM = R² и  OP = OA cos, где  = AOP. Поэтому  AM² = OM² + OA² - 2OM ^. OA cos = OM² + OA² - 2R², а значит, величина  OM² - AM² = 2R² - OA² постоянна. Следовательно, все точки M лежат на прямой, перпендикулярной OA (см. задачу 7.6).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	7
Название	Геометрические места точек
Тема	Геометрические Места Точек
параграф
Номер	1
Название	ГМТ - прямая или отрезок
Тема	ГМТ - прямая или отрезок
задача
Номер	07.009