Задача 57138

Тема:    [ ГМТ - прямая или отрезок ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

а) Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что величина  AX² + CX² - BX² - DX² не зависит от выбора точки X.
б) Четырехугольник ABCD не является параллелограммом. Докажите, что все точки X, удовлетворяющие соотношению  AX² + CX² = BX² + DX², лежат на одной прямой, перпендикулярной отрезку, соединяющему середины диагоналей.

Решение

Пусть P и Q — середины диагоналей AC и BD. Тогда  AX² + CX² = 2PX² + AC²/2 и  BX² + DX² = 2QX² + BD²/2 (см. задачу 12.11, а)), поэтому в задаче б) искомое ГМТ состоит из таких точек X, что  PX² - QX² = (BD² - AC²)/4, а в задаче a) P = Q, поэтому рассматриваемая величина равна  (BD² - AC²)/2.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	7
Название	Геометрические места точек
Тема	Геометрические Места Точек
параграф
Номер	1
Название	ГМТ - прямая или отрезок
Тема	ГМТ - прямая или отрезок
задача
Номер	07.010