Задача 57147

Темы:    [ ГМТ и вписанный угол ] [ Углы между биссектрисами ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

На окружности фиксированы точки A и B, а точка C перемещается по этой окружности. Найдите множество точек пересечения: а) высот; б) биссектрис треугольников ABC.

Решение

а) Пусть O — точка пересечения высот AA₁ и BB₁. Точки A₁ и B₁ лежат на окружности с диаметром CO. Следовательно,  AOB = 180^o - C. Поэтому искомое ГМТ — окружность, симметричная данной относительно прямой AB (точки, проецирующиеся в точки A и B, следует исключить).
б) Если O — точка пересечения биссектрис треугольника ABC, то  AOB = 90^o + C/2. На каждой из двух дуг AB угол C постоянен, поэтому искомым ГМТ являются две дуги, из которых отрезок AB виден под углом  90^o + C/2 (точки A и B следует исключить).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	7
Название	Геометрические места точек
Тема	Геометрические Места Точек
параграф
Номер	3
Название	Вписанный угол
Тема	ГМТ и вписанный угол
задача
Номер	07.018