|
Название задачи: Теорема Карно. |
 |
Условие
Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точек A1, B1, C1 на стороны BC, CA, AB треугольника ABC, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда A1B² + C1A² + B1C² = B1A² + A1C² + C1B² (теорема Карно).
Решение
Пусть указанные перпендикуляры пересекаются в точке M. Так как точки B1 и M лежат на одном перпендикуляре к прямой AC, то
B1A² – B1C² = MA² – MC² (см. задачу 57134). Аналогично C1B² – C1A² = MB² – MA² и A1C² – A1B² = MC² – MB². Складывая эти равенства, получаем A1B² + C1A² + B1C² = B1A² + A1C² + C1B².
Обратно, пусть данное равенство выполнено. Обозначим точку пересечения перпендикуляров, опущенных из точек A1 и B1 на прямые BC и AC, через M. Если M не совпадает с C1, проведём через точку M прямую, перпендикулярную прямой AB. Тогда согласно предыдущему
A1B² + MA² + B1C² = B1A² + A1C² + MB², то есть MB² – MA² = A1B² – A1C² + B1C² – B1A² = C1B² – C1A². Согласно задаче 57134 прямая MC1 перпендикулярна отрезку AB, что и требовалось.
Замечания
Поменяв местами тройки (A, B, C) и (A1, B1, C1), мы не изменим равенства в условии. Это означает, что перпендикуляры, опущенные из точек A1, B1, C1 на стороны BC, CA, AB треугольника ABC, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда перпендикуляры, опущенные из точек A, B, C на стороны B1C1, C1A1, A1B1 треугольника A1B1C1, пересекаются в одной точке.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Прасолов В.В. |
| Год издания | 2001 |
| Название | Задачи по планиметрии |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 4* |
| глава | |
| Номер | 7 |
| Название | Геометрические места точек |
| Тема | Геометрические Места Точек |
| параграф | |
| Номер | 8 |
| Название | Теорема Карно |
| Тема | Теорема Карно |
| задача | |
| Номер | 07.040 |
