Задача 57175

Тема:    [ Теорема Карно ]

Сложность: 5+ Классы: 9

Условие

Треугольник ABC правильный, P — произвольная точка. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из центров вписанных окружностей треугольников PAB, PBC и PCA на прямые AB, BC и CA, пересекаются в одной точке.

Решение

Можно считать, что длина стороны данного правильного треугольника равна 2. Пусть  PA = 2a, PB = 2b и PC = 2c; A₁, B₁ и C₁ — проекции центров вписанных окружностей треугольников PBC, PCA и PAB на прямые BC, CA и AB. Согласно задаче 3.2  AB₁² + BC₁² + CA₁² = (1 + a - c)² + (1 + b - a)² + (1 + c - b)² = 3 + (a - c)² + (b - a)² + (c - b)² = BA₁² + CB₁² + AC₁².

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	7
Название	Геометрические места точек
Тема	Геометрические Места Точек
параграф
Номер	8
Название	Теорема Карно
Тема	Теорема Карно
задача
Номер	07.045