ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57178
Тема:    [ Окружность Ферма-Аполлония ]
Сложность: 5
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Прямая l пересекает две окружности в четырех точках. Докажите, что четырехугольник, образованный касательными в этих точках, описанный, причем центр его описанной окружности лежит на прямой, соединяющей центры данных окружностей.

Решение

Пусть прямая l высекает на данных окружностях дуги A1B1 и A2B2 величиной  2$ \alpha_{1}^{}$ и  2$ \alpha_{2}^{}$O1 и O2 — центры окружностей, R1 и R2 — их радиусы. Пусть K — точка пересечения касательных в точках A1 и A2. По теореме синусов  KA1 : KA2 = sin$ \alpha_{2}^{}$ : sin$ \alpha_{1}^{}$, т. е.  KA1sin$ \alpha_{1}^{}$ = KA2sin$ \alpha_{2}^{}$. А так как  KO12 = KA12 + R12 и  KO22 = KA22 + R22, то  (sin2$ \alpha_{1}^{}$)KO12 - (sin2$ \alpha_{2}^{}$)KO22 = (R1sin$ \alpha_{1}^{}$)2 - (R2sin$ \alpha_{2}^{}$)2 = q. Аналогично доказывается, что и остальные точки пересечения касательных принадлежат геометрическому месту таких точек X, что  (sin2$ \alpha_{1}^{}$)XO12 - (sin2$ \alpha_{2}^{}$)XO22 = q. Это ГМТ — окружность, центр которой лежит на прямой O1O2 (см. замечание к задаче 7.47).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 7
Название Геометрические места точек
Тема Геометрические Места Точек
параграф
Номер 9
Название Окружность Ферма-Аполлония
Тема Окружность Ферма-Аполлония
задача
Номер 07.048

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .