Информация о задаче

Задача 57252

Тема:

[

Окружности (построения)

]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Через каждые две из них провести окружность так, чтобы построенные окружности были взаимно ортогональны.

Решение

Пусть A, B, C — данные точки, A', B', C' — центры требуемых окружностей (A' — центр окружности, проходящей через точки B и C и т.д.). Треугольники BA'C, AB'C, AC'B равнобедренные. Пусть x, y, z — углы при их основаниях. Тогда

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{rcl} y+z+\angle A&=&\pm 90^{\ci... ...&\pm 90^{\circ},\\ x+y+\angle C&=&\pm 90^{\circ}.\\ \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{rcl} y+z+\angle A&=&\pm 90^{\circ},\\ z+x+\angle B&=&\pm 90^{\circ},\\ x+y+\angle C&=&\pm 90^{\circ}.\\ \end{array}$

Эта система уравнений легко решается. Например, чтобы найти x, нужно сложить два последних уравнения и вычесть из них первое уравнение. Если же мы знаем (ориентированные) углы x, y, z, то требуемые окружности строятся очевидным образом.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	8
Название	Построения
Тема	Построения
параграф
Номер	8
Название	Окружности
Тема	Окружности (построения)
задача
Номер	08.056B