Условие
Даны две точки
A и
B и окружность. Найти на окружности точку
X так, чтобы
прямые
AX и
BX отсекли на окружности хорду
CD, параллельную данной прямой
MN.
Решение
Предположим, что мы построили требуемую точку
X. Пусть прямая
AX пересекает
данную окружность
S в точке
C, а прямая
BX — в точке
D. Проведём
через точку
D прямую, параллельную прямой
AB; она пересекает окружность
S
в некоторой точке
K. Пусть прямая
KC пересекает прямую
AB в точке
P.
Треугольники
APC и
AXB подобны, поскольку угол
A у них общий и
APC =
CKD =
CXD. Из подобия этих треугольников следует, что
AP . AB =
AC . AX.
Из этого вытекает следующее построение. Проведём через точку
A прямую,
пересекающую окружность
S в некоторых точках
C' и
X'. Тогда
AP . AB =
AC . AX =
AC' . AX', поэтому мы можем построить точку
P.
Далее, нам известен угол
CDK (он равен углу между прямыми
AB и
MN). Поэтому мы знаем длину хорды
KC, а значит, мы можем построить
окружность
S', которая имеет тот же самый центр, что и окружность
S, и
касается хорды
KC. Проведя из точки
P касательную к окружности
S',
находим точку
C.
Источники и прецеденты использования
