Задача 57255

Тема:    [ Окружности (построения) ]

Сложность: 6 Классы: 8,9

Условие

Даны три точки A, B и C. Постройте три окружности, попарно касающиеся в этих точках.

Решение

окружности S₁, S₂ и S₃, попарно касающиеся в данных точках: S₁ и S₂ касаются в точке C; S₁ и S₃ — в точке B; S₂ и S₃ — в точке A. Пусть O₁, O₂ и O₃ — центры окружностей S₁, S₂ и S₃. Тогда точки A, B и C лежат на сторонах треугольника O₁O₂O₃, причем  O₁B = O₁C, O₂C = O₂A и O₃A = O₃B. Поэтому точки A, B и C являются точками касания вписанной или вневписанной окружности треугольника O₁O₂O₃ со сторонами.
Из этого вытекает следующее построение. Строим описанную окружность треугольника ABC и проводим к ней касательные в точках A, B и C. Точки пересечения этих касательных являются центрами искомых окружностей.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	8
Название	Построения
Тема	Построения
параграф
Номер	8
Название	Окружности
Тема	Окружности (построения)
задача
Номер	08.057