Условие
Докажите, что если на плоскости даны какая-нибудь
окружность S и ее центр O, то с помощью одной линейки можно:
а) из любой точки провести прямую, параллельную данной прямой, и
опустить на данную прямую перпендикуляр;
б) на данной прямой от данной точки отложить отрезок, равный данному
отрезку;
в) построить отрезок длиной ab/c, где a, b, c — длины данных
отрезков;
г) построить точки пересечения данной прямой l с окружностью,
центр которой — данная точка A, а радиус равен длине данного
отрезка;
д) построить точки пересечения двух окружностей, центры
которых — данные точки, а радиусы — данные отрезки.
Решение
а) Пусть A — данная точка, l — данная
прямая. Рассмотрим сначала случай, когда точка O не лежит на
прямой l. Проведем через точку O две произвольные прямые,
пересекающие прямую l в точках B и C. Согласно задаче 8.78 в
треугольнике OBC можно опустить высоты на стороны OB и OC. Пусть H — точка их пересечения. Тогда можно провести прямую OH,
которая перпендикулярна l. Согласно задаче 8.78 можно опустить
перпендикуляр из точки A на OH. Это и есть искомая прямая,
проходящая через A и параллельная l. Чтобы из A опустить
перпендикуляр на l, нужно восставить из O перпендикуляр l'
к OH, а затем из A опустить перпендикуляр на l'. В случае, когда
точка O лежит на прямой l, согласно задаче 8.78 можно сразу
опустить из точки A перпендикуляр l' на прямую l, а затем из той
же точки A восставить перпендикуляр к прямой l'.
б) Пусть l — данная прямая, A — лежащая на ней данная точка
и BC — данный отрезок. Проведем через точку O прямые OD и OE,
параллельные прямым l и BC соответственно (D и E — точки
пересечения этих прямых с окружностью S). Через точку C проведем
прямую, параллельную OB, до пересечения с прямой OE в точке F,
через F — прямую, параллельную ED, до пересечения с OD
в точке G и, наконец, через G — прямую, параллельную OA, до
пересечения с I в точке H. Тогда
AH = OG = OF = BC, т. е. AH —
требуемый отрезок.
в) Возьмем две произвольные прямые, пересекающиеся в точке P. Отложим
на одной из них отрезок PA = a, а на другой — отрезки PB = b
и PC = c. Пусть D — точка пересечения прямой PA с прямой,
проходящей через B и параллельной AC. Ясно, что PD = ab/c.
г) Пусть H — гомотетия (или параллельный перенос), переводящая
окружность с центром A и радиусом r в окружность S (т. е.
в заданную окружность с отмеченным центром O). Так как радиусы
обеих окружностей известны, можно построить образ любой точки X
при отображении H. Для этого нужно через точку O провести
прямую, параллельную прямой AX, и отложить на ней отрезок,
равный
rS . AX/r, где rS — радиус окружности S.
Аналогично строится образ любой точки при отображении H-1. Поэтому
можно построить прямую l' = H(l ) и найти точки ее пересечения с
окружностью S, а затем построить образы этих точек при
отображении H-1.
д) Пусть A и B — центры данных окружностей, C — одна из
точек, которые нужно построить, CH — высота треугольника ABC.
Записав теорему Пифагора для треугольников ACH и BCH, получим,
что
AH = (b2 + c2 - a2)/2c. Величины a, b и c известны, поэтому
можно построить точку H и точки пересечения прямой CH с одной
из данных окружностей.
Источники и прецеденты использования
