Задача 57277

Тема:    [ Построения одной линейкой ]

Сложность: 6 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что если на плоскости даны какая-нибудь окружность S и ее центр O, то с помощью одной линейки можно:
а) из любой точки провести прямую, параллельную данной прямой, и опустить на данную прямую перпендикуляр;
б) на данной прямой от данной точки отложить отрезок, равный данному отрезку;
в) построить отрезок длиной ab/c, где a, b, c — длины данных отрезков;
г) построить точки пересечения данной прямой l с окружностью, центр которой — данная точка A, а радиус равен длине данного отрезка;
д) построить точки пересечения двух окружностей, центры которых — данные точки, а радиусы — данные отрезки.

Решение

а) Пусть A — данная точка, l — данная прямая. Рассмотрим сначала случай, когда точка O не лежит на прямой l. Проведем через точку O две произвольные прямые, пересекающие прямую l в точках B и C. Согласно задаче 8.78 в треугольнике OBC можно опустить высоты на стороны OB и OC. Пусть H — точка их пересечения. Тогда можно провести прямую OH, которая перпендикулярна l. Согласно задаче 8.78 можно опустить перпендикуляр из точки A на OH. Это и есть искомая прямая, проходящая через A и параллельная l. Чтобы из A опустить перпендикуляр на l, нужно восставить из O перпендикуляр l' к OH, а затем из A опустить перпендикуляр на l'. В случае, когда точка O лежит на прямой l, согласно задаче 8.78 можно сразу опустить из точки A перпендикуляр l' на прямую l, а затем из той же точки A восставить перпендикуляр к прямой l'.
б) Пусть l — данная прямая, A — лежащая на ней данная точка и BC — данный отрезок. Проведем через точку O прямые OD и OE, параллельные прямым l и BC соответственно (D и E — точки пересечения этих прямых с окружностью S). Через точку C проведем прямую, параллельную OB, до пересечения с прямой OE в точке F, через F — прямую, параллельную ED, до пересечения с OD в точке G и, наконец, через G — прямую, параллельную OA, до пересечения с I в точке H. Тогда  AH = OG = OF = BC, т. е. AH — требуемый отрезок.
в) Возьмем две произвольные прямые, пересекающиеся в точке P. Отложим на одной из них отрезок PA = a, а на другой — отрезки PB = b и PC = c. Пусть D — точка пересечения прямой PA с прямой, проходящей через B и параллельной AC. Ясно, что PD = ab/c.
г) Пусть H — гомотетия (или параллельный перенос), переводящая окружность с центром A и радиусом r в окружность S (т. е. в заданную окружность с отмеченным центром O). Так как радиусы обеих окружностей известны, можно построить образ любой точки X при отображении H. Для этого нужно через точку O провести прямую, параллельную прямой AX, и отложить на ней отрезок, равный  r_S ^. AX/r, где r_S — радиус окружности S. Аналогично строится образ любой точки при отображении H^-1. Поэтому можно построить прямую l' = H(l ) и найти точки ее пересечения с окружностью S, а затем построить образы этих точек при отображении H^-1.
д) Пусть A и B — центры данных окружностей, C — одна из точек, которые нужно построить, CH — высота треугольника ABC. Записав теорему Пифагора для треугольников ACH и BCH, получим, что  AH = (b² + c² - a²)/2c. Величины a, b и c известны, поэтому можно построить точку H и точки пересечения прямой CH с одной из данных окружностей.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	8
Название	Построения
Тема	Построения
параграф
Номер	12
Название	Построения одной линейкой
Тема	Построения одной линейкой
задача
Номер	08.079