Задача 57316

Тема:    [ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ]

Сложность: 5 Классы: 8

Условие

a, b и c - длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что

(a + b - c)(a - b + c)(- a + b + c) abc.

Решение

Первое решение. Введем новые переменные  x = - a + b + c, y = a - b + c, z = a + b - c. Тогда  a = (y + z)/2, b = (x + z)/2, c = (x + y)/2, т. е. нужно доказать неравенство  xyz (x + y)(y + z)(x + z)/8 или  6xyz x(y² + z²) + y(x² + z²) + z(x² + y²). Последнее неравенство следует из того, что  2xyz x(y² + z²), 2xyz y(x² + z²), 2xyz z(x² + y²), так как x, y, z — положительные числа.

Второе решение. Так как  2S = ab sin и  sin = c/2R, то abc = 4SR. По формуле Герона  (a + b - c)(a - b + c)(- a + b + c) = 8S²/p. Поэтому нужно доказать, что  8S²/p 4SR, т. е. 2S pR. Так как S = pr, приходим к неравенству 2r R (см. задачу 10.26).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	2
Название	Алгебраические задачи на неравенство треугольника
Тема	Алгебраические задачи на неравенство треугольника
задача
Номер	09.012