ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57324
Темы:    [ Сумма длин диагоналей четырехугольника ]
[ Средние величины ]
[ Выпуклые многоугольники ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что среднее арифметическое длин сторон произвольного выпуклого многоугольника меньше среднего арифметического длин всех его диагоналей.


Решение

Пусть ApAp+1 и AqAq+1 – несмежные стороны n-угольника A1...An. Тогда  ApAp+1 + AqAq+1 < ApAq + Ap+1Aq+1.  Запишем все такие неравенства и сложим их. Для каждой стороны найдётся ровно  n – 3  несмежных с ней сторон, поэтому она входит в  n – 3  неравенства, то есть в левой части полученной суммы стоит  (n – 3)P,  где P  – сумма длин сторон n-угольника. Диагональ AmAn входит в два неравенства: для  p = n,  q = m  и для
p = n – 1,  q = m – 1,  поэтому в правой части стоит 2D, где D – сумма длин диагоналей. Итак,  (n – 3)P < 2D.  Следовательно,  P/n < D/½n(n–3),  что и требовалось (количество диагоналей согласно задаче 60391 равно  ½ n(n – 3)).




Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 9
Название Геометрические неравенства
Тема Геометрические неравенства
параграф
Номер 3
Название Сумма длин диагоналей четырехугольника
Тема Сумма длин диагоналей четырехугольника
задача
Номер 09.020

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .