Условие
Докажите, что среднее арифметическое длин сторон произвольного выпуклого многоугольника меньше среднего арифметического длин всех его диагоналей.
Решение
Пусть ApAp+1 и AqAq+1 – несмежные стороны n-угольника
A1...An. Тогда ApAp+1 + AqAq+1 < ApAq + Ap+1Aq+1. Запишем все такие неравенства и сложим их. Для каждой стороны найдётся ровно n – 3 несмежных с ней сторон, поэтому она входит в n – 3 неравенства, то есть в левой части полученной суммы стоит (n – 3)P, где P – сумма длин сторон n-угольника. Диагональ AmAn входит в два неравенства: для p = n, q = m и для
p = n – 1, q = m – 1, поэтому в правой части стоит 2D, где D – сумма длин диагоналей. Итак, (n – 3)P < 2D. Следовательно, P/n < D/½n(n–3), что и требовалось (количество диагоналей согласно задаче 60391 равно ½ n(n – 3)).
Источники и прецеденты использования
