Информация о задаче

Задача 57336

Тема:

[

Площадь треугольника не превосходит половины произведения двух сторон

]

Сложность: 3
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Пусть E, F, G и H — середины сторон AB, BC, CD и DA четырехугольника ABCD. Докажите, что S_ABCD $\leq$ EG^.HF $\le$ (AB + CD)(AD + BC)/4.

Решение

Так как EH — средняя линия треугольника ABD, то S_AEH = S_ABD/4. Аналогично S_CFG = S_CBD/4. Поэтому S_AEH + S_CFG = S_ABCD/4. Аналогично S_BFE + S_DGH = S_ABCD/4. Следовательно, S_ABCD = 2S_EFGH = EG^.HF sin $\alpha$ , где $\alpha$ — угол между прямыми EG и HF. Так как sin $\alpha$ $\leq$ 1, то S_ABCD $\leq$ EG^.HF.
Складывая равенства $\overrightarrow{EG}$ = $\overrightarrow{EB}$ + $\overrightarrow{BC}$ + $\overrightarrow{CG}$ и $\overrightarrow{EG}$ = $\overrightarrow{EA}$ + $\overrightarrow{AD}$ + $\overrightarrow{DG}$ , получаем 2 $\overrightarrow{EG}$ = ( $\overrightarrow{EB}$ + $\overrightarrow{EA}$ ) + ( $\overrightarrow{BC}$ + $\overrightarrow{AD}$ ) + ( $\overrightarrow{DG}$ + $\overrightarrow{CG}$ ) = $\overrightarrow{BC}$ + $\overrightarrow{AD}$ . Поэтому EG $\leq$ (BC+AD)/2. Аналогично HF $\leq$ (AB + CD)/2. Следовательно,

S_ABCD $\displaystyle \leq$ EG^.HF $\displaystyle \leq$ (AB + CD)(BC + AD)/4.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	5
Название	Площадь треугольника не превосходит половины произведения двух сторон
Тема	Площадь треугольника не превосходит половины произведения двух сторон
задача
Номер	09.031