Условие
В окружность радиуса
R вписан многоугольник
площади
S, содержащий центр окружности, и на его сторонах
выбрано по точке. Докажите, что периметр выпуклого многоугольника с
вершинами в выбранных точках не меньше 2
S/
R.
Решение
Пусть на сторонах
A1A2,
A2A3,...,
AnA1 выбраны
точки
B1,...,
Bn;
O — центр окружности. Пусть далее
Sk =
SOBkAk + 1Bk + 1 = (
OAk + 1 . BkBk + 1sin
)/2,
где
— угол между
OAk + 1 и
BkBk + 1. Так
как
OAk + 1 =
R и
sin
1, то
Sk (
R . BkBk + 1)/2.
Поэтому
S =
S1 + ... +
Sn R(
B1B2 + ... +
BnB1)/2, т. е. периметр
многоугольника
B1B2...
Bn не меньше 2
S/
R.
Источники и прецеденты использования
