Задача 57340

Тема:    [ Площадь треугольника не превосходит половины произведения двух сторон ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

Внутри выпуклого четырехугольника ABCD площади S взята точка O, причем  AO² + BO² + CO² + DO² = 2S. Докажите, что тогда ABCD — квадрат и O — его центр.

Решение

Имеем  2S_AOB AO ^. OB (AO² + BO²)/2, причем равенство возможно, только если  AOB = 90^o и AO = BO. Аналогично  2S_BOC (BO² + CO²)/2, 2S_COD (CO² + DO²)/2 и  2S_DOA (DO² + AO²)/2. Складывая эти неравенства, получаем  2S = 2(S_AOB + S_BOC + S_COD + S_DOA) AO² + BO² + CO² + DO², причем равенство возможно, только если  AO = BO = CO = DO и  AOB = BOC = COD = DOA = 90^o, т. е. ABCD — квадрат и точка O — его центр.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	5
Название	Площадь треугольника не превосходит половины произведения двух сторон
Тема	Площадь треугольника не превосходит половины произведения двух сторон
задача
Номер	09.035