Условие
Внутри выпуклого четырехугольника
ABCD площади
S
взята точка
O, причем
AO2 +
BO2 +
CO2 +
DO2 = 2
S. Докажите, что
тогда
ABCD — квадрат и
O — его центр.
Решение
Имеем
2
SAOB 
AO . OB (
AO2 +
BO2)/2, причем
равенство возможно, только если
AOB = 90
o и
AO =
BO.
Аналогично
2
SBOC (
BO2 +
CO2)/2, 2
SCOD (
CO2 +
DO2)/2
и
2
SDOA (
DO2 +
AO2)/2. Складывая эти неравенства, получаем
2
S = 2(
SAOB +
SBOC +
SCOD +
SDOA)
AO2 +
BO2 +
CO2 +
DO2,
причем равенство возможно, только если
AO =
BO =
CO =
DO
и
AOB =
BOC =
COD =
DOA = 90
o,
т. е.
ABCD — квадрат и точка
O — его центр.
Источники и прецеденты использования
