Информация о задаче

Задача 57344

Тема:

[

Неравенства с площадями

]

Сложность: 3+
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Через точку, лежащую внутри треугольника, проведены три прямые, параллельные его сторонам. Обозначим площади частей, на которые эти прямые разбивают треугольник, так, как показано на рис. Докажите, что a/ $\alpha$ + b/ $\beta$ + c/ $\gamma$ $\geq$ 3/2.

Решение

Согласно неравенству между средним геометрическим и средним арифметическим ${\frac{a}{\alpha }}$ + ${\frac{b}{\beta }}$ + ${\frac{c}{\gamma }}$ $\geq$ 33abc/( $\alpha$ $\beta$ $\gamma$ ) = 3/2, так как $\alpha$ = 2 $\sqrt{bc}$ , $\beta$ = 2 $\sqrt{ca}$ и $\gamma$ = 2 $\sqrt{ab}$ (см. задачу 1.33).

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	6
Название	Неравенства для площадей
Тема	Неравенства с площадями
задача
Номер	09.039