Задача 57349

Темы:    [ Неравенства с площадями ] [ Наименьшая или наибольшая площадь (объем) ] [ Пятиугольники ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что сумма площадей пяти треугольников, образованных парами соседних сторон и соответствующими диагоналями выпуклого пятиугольника, больше площади всего пятиугольника.

Решение

Пусть для определенности ABC — треугольник наименьшей площади. Обозначим точку пересечения диагоналей AD и EC через F. Тогда  S_ABCDE < S_AED + S_EDC + S_ABCF. Так как точка F лежит на отрезке EC и  S_EAB S_CAB, то  S_EAB S_FAB. Аналогично  S_DCB S_FCB. Поэтому  S_ABCF = S_FAB + S_FCB S_EAB + S_DCB. Следовательно,  S_ABCDE < S_AED + S_EDC + S_EAB + S_DCB; это даже более сильное неравенство, чем требовалось.

Замечания

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	6
Название	Неравенства для площадей
Тема	Неравенства с площадями
задача
Номер	09.044
журнал
Название	"Квант"
год
Год	1973
выпуск
Номер	3
Задача
Номер	М193