ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57349
Темы:    [ Неравенства с площадями ]
[ Наименьшая или наибольшая площадь (объем) ]
[ Пятиугольники ]
[ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
Сложность: 5
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что сумма площадей пяти треугольников, образованных парами соседних сторон и соответствующими диагоналями выпуклого пятиугольника, больше площади всего пятиугольника.

Решение

Пусть для определенности ABC — треугольник наименьшей площади. Обозначим точку пересечения диагоналей AD и EC через F. Тогда  SABCDE < SAED + SEDC + SABCF. Так как точка F лежит на отрезке EC и  SEAB $ \geq$ SCAB, то  SEAB $ \geq$ SFAB. Аналогично  SDCB $ \geq$ SFCB. Поэтому  SABCF = SFAB + SFCB $ \leq$ SEAB + SDCB. Следовательно,  SABCDE < SAED + SEDC + SEAB + SDCB; это даже более сильное неравенство, чем требовалось.

Замечания

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 9
Название Геометрические неравенства
Тема Геометрические неравенства
параграф
Номер 6
Название Неравенства для площадей
Тема Неравенства с площадями
задача
Номер 09.044
журнал
Название "Квант"
год
Год 1973
выпуск
Номер 3
Задача
Номер М193

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .