ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Версия для печати
Убрать все задачи Сколько существует пятизначных чисел, получаемых из числа 12345 перестановкой цифр и у которых чётные цифры не стоят рядом? Точки A, B и O не лежат на одной прямой. Проведите через
точку O прямую l так, чтобы сумма расстояний от нее до точек A
и B была: а) наибольшей; б) наименьшей.
|
Задача 57354
Условиеа) В круг площади S вписан правильный n-угольник
площади S1, а около этого круга описан правильный n-угольник
площади S2. Докажите, что
S2 > S1S2.
Решениеа) Можно считать, что описанный n-угольник
A1...An и вписанный n-угольник
B1...Bn расположены
так, что прямые AiBi пересекаются в центре O данного круга.
Пусть Ci и Di — середины сторон
AiAi + 1 и
BiBi + 1.
Тогда
SOBiCi = p . OBi . OCi, SOBiDi = p . OBi . ODi
и
SOAiCi = p . OAi . OCi, где
p = (sin AiOCi)/2. Так
как
OAi : OCi = OBi : ODi,
то
SOBiCi2 = SOBiDiSOAiCi. Остается заметить, что
площадь части круга, заключенной внутри угла AiOCi,
больше
SOBiCi, а площади частей вписанного и описанного n-угольников, заключенных внутри этого угла, равны
SOBiDi
и
SOAiCi.
Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке