Условие
Точки
A,
B и
O не лежат на одной прямой. Проведите через
точку
O прямую
l так, чтобы сумма расстояний от нее до точек
A
и
B была: а) наибольшей; б) наименьшей.
Решение
Пусть сумма расстояний от точек
A и
B до прямой
l равна 2
h.
Если прямая
l пересекает отрезок
AB в точке
X, то
SAOB =
h . OX, поэтому величина
h экстремальна, когда экстремальна
величина
OX, т. е. прямая
OX соответствует стороне или высоте
треугольника
AOB. Если прямая
l не пересекает отрезок
AB,
то величина
h равна средней линии трапеции, ограниченной
перпендикулярами, опущенными из точек
A и
B на прямую
l.
Эта величина экстремальна, когда прямая
l перпендикулярна
медиане
OM треугольника
AOB или соответствует стороне
треугольника
AOB. Остается выбрать две из полученных четырех прямых.
Источники и прецеденты использования
