Условие
Точки A, B и O не лежат на одной прямой. Проведите через
точку O прямую l так, чтобы сумма расстояний от нее до точек A
и B была: а) наибольшей; б) наименьшей.
Решение
Пусть сумма расстояний от точек A и B до прямой l равна 2h.
Если прямая l пересекает отрезок AB в точке X, то
SAOB = h . OX, поэтому величина h экстремальна, когда экстремальна
величина OX, т. е. прямая OX соответствует стороне или высоте
треугольника AOB. Если прямая l не пересекает отрезок AB,
то величина h равна средней линии трапеции, ограниченной
перпендикулярами, опущенными из точек A и B на прямую l.
Эта величина экстремальна, когда прямая l перпендикулярна
медиане OM треугольника AOB или соответствует стороне
треугольника AOB. Остается выбрать две из полученных четырех прямых.
Источники и прецеденты использования
