Информация о задаче

Задача 57364

Тема:

[

Ломаные внутри квадрата

]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Внутри квадрата со стороной 1 расположена несамопересекающаяся ломаная длины 1000. Докажите, что найдется прямая, параллельная одной из сторон квадрата, пересекающая эту ломаную по крайней мере в 500 точках.

Решение

Пусть l_i — длина i-го звена ломаной, a_i и b_i — длины его проекций на стороны квадрата. Тогда l_i $\leq$ a_i + b_i. Следовательно, 1000 = l₁ + ... + l_n $\leq$ (a₁ + ... + a_n) + (b₁ + ... + b_n), т. е. либо a₁ + ... + a_n $\geq$ 500, либо b₁ + ... + b_n $\geq$ 500. Если сумма длин проекций звеньев на сторону длиной 1 не меньше 500, то на одну из точек стороны проецируется не менее 500 различных звеньев ломаной, т. е. перпендикуляр к стороне, проходящий через эту точку, пересекает ломаную по крайней мере в 500 точках.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	8
Название	Ломаные внутри квадрата
Тема	Ломаные внутри квадрата
задача
Номер	09.058