Условие
Внутри квадрата со стороной 1 расположена
несамопересекающаяся ломаная длины 1000. Докажите, что
найдется прямая, параллельная одной из сторон квадрата,
пересекающая эту ломаную по крайней мере в 500 точках.
Решение
Пусть
li — длина
i-го звена ломаной,
ai
и
bi — длины его проекций на стороны квадрата. Тогда
li 
ai +
bi. Следовательно,
1000 =
l1 + ... +
ln (
a1 + ... +
an) + (
b1 + ... +
bn), т. е. либо
a1 + ... +
an 
500,
либо
b1 + ... +
bn 500. Если сумма длин проекций звеньев на
сторону длиной 1 не меньше 500, то на одну из точек стороны
проецируется не менее 500 различных звеньев ломаной, т. е.
перпендикуляр к стороне, проходящий через эту точку, пересекает ломаную
по крайней мере в 500 точках.
Источники и прецеденты использования
