Задача 57367

Тема:    [ Ломаные внутри квадрата ]

Сложность: 5+ Классы: 8,9

Условие

Внутри квадрата со стороной 100 расположена ломаная L, обладающая тем свойством, что любая точка квадрата удалена от L не больше чем на 0, 5. Докажите, что на L есть две точки, расстояние между которыми не больше 1, а расстояние по L между ними не меньше 198.

Решение

Пусть M и N — концы ломаной. Будем идти по ломаной из M в N. Пусть A₁ — первая из встретившихся нам точек ломаной, удаленных от какой-либо вершины квадрата на расстояние 0,5. Рассмотрим вершины квадрата, соседние с этой вершиной. Пусть B₁ — первая после A₁ точка ломаной, удаленная от одной из этих вершин на расстояние 0,5. Вершины квадрата, ближайшие к точкам A₁ и B₁, обозначим A и B соответственно (рис.). Часть ломаной от M до A₁ обозначим через L₁, от A₁ до N — через L₂. Пусть X и Y — множества точек, лежащих на AD и удаленных не более чем на 0,5 от L₁ и L₂ соответственно. По условию X и Y покрывают всю сторону AD. Ясно, что A принадлежит X, а D не принадлежит X, поэтому D принадлежит Y, т. е. оба множества X и Y не пусты. Но каждое из них состоит из нескольких отрезков, поэтому они должны иметь общую точку P. Следовательно, на L₁ и L₂ существуют точки F₁ и F₂, для которых  PF₁ 0, 5 и  PF₂ 0, 5.
Докажем, что F₁ и F₂ — искомые точки. В самом деле,  F₁F₂ F₁P + PF₂ 1. С другой стороны, идя в F₂ из F₁, мы должны пройти через точку B, а  F₁B₁ 99 и  F₂B₁ 99, так как точка B₁ удалена от стороны BC не больше чем на 0,5, а F₁ и F₂ удалены от стороны AD не больше чем на 0,5.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	8
Название	Ломаные внутри квадрата
Тема	Ломаные внутри квадрата
задача
Номер	09.061