Задача 57390

Тема:    [ Многоугольники (неравенства) ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

Правильный 2n-угольник M₁ со стороной a лежит внутри правильного 2n-угольника M₂ со стороной 2a. Докажите, что многоугольник M₁ содержит центр многоугольника M₂.

Решение

Предположим, что центр O многоугольника M₂ лежит вне многоугольника M₁. Тогда существует такая сторона AB многоугольника M₁, что многоугольник M₁ и точка O лежат по разные стороны от прямой AB. Пусть CD — сторона многоугольника M₁, параллельная AB. Расстояние между прямыми AB и CD равно радиусу вписанной окружности S многоугольника M₂, поэтому прямая CD лежит вне окружности S. С другой стороны, отрезок CD лежит внутри многоугольника M₂. Следовательно, длина отрезка CD меньше половины длины стороны многоугольника M₂ (см. задачу 10.66). Получено противоречие.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	10
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники (неравенства)
задача
Номер	09.083