Условие
Правильный 2
n-угольник
M1 со стороной
a лежит
внутри правильного 2
n-угольника
M2 со стороной 2
a.
Докажите, что многоугольник
M1 содержит центр многоугольника
M2.
Решение
Предположим, что центр
O многоугольника
M2 лежит
вне многоугольника
M1. Тогда существует такая сторона
AB
многоугольника
M1, что многоугольник
M1 и точка
O лежат по
разные стороны от прямой
AB. Пусть
CD — сторона
многоугольника
M1, параллельная
AB. Расстояние между прямыми
AB
и
CD равно радиусу вписанной окружности
S многоугольника
M2,
поэтому прямая
CD лежит вне окружности
S. С другой стороны,
отрезок
CD лежит внутри многоугольника
M2. Следовательно, длина
отрезка
CD меньше половины длины стороны многоугольника
M2 (см. задачу
10.66). Получено противоречие.
Источники и прецеденты использования
